С Днем российской науки!
Сегодня 8 февраля.
Поздравляю всех рисковчан с Днем российской науки!
Считайте риски, дорогие товарищи!
И пользуясь случаем вспомним наших замечательных альпинистов и туристов, наших учителей и товарищей, живущих с нами и уже ушедших, которые были не только фанатами гор, но еще и учеными. Их много, очень много, начиная с Отто Юльевича Шмидта... И в горах с ними всегда так интересно!
К этому празднику я сделал для себя подарок, а именно, наконец-то разобрался с парадоксом полкового парикмахера.
Парадокс очень простой.
Полковой парикмахер бреет тех и только тех, кто сам не бреется. Бреет ли он себя?
Если парикмахер бреется, то, значит, он бреется сам, а ведь таких особей он не бреет. Если парикмахер не бреется, то он бреет себя, потому что он бреет всех, кто сам не бреется. С какой стороны не посмотришь - фигня какая то...
Еще похожие формулировки:
1). В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров». Где должен жить мэр Города мэров?
2). Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?
196
Комментарии:
Войдите на сайт или зарегистрируйтесь, чтобы оставить комментарий
Полиция обезвредила преступную группу, продающую в метрополитене любые дипломы и аттестаты. "К сожалению, у нас не хватило доказательств, и задержанных пришлось отпустить", - сообщил нашей газете доктор исторических наук профессор младший сержант полиции Иванов.
- где то я Вас уже видел... где же я Вас уже видел-то? А, точно! Вы мне и все нашей смене дипломы об окончании медицинского в переходе продали! Вы знаете, мы Вам так благодарны, так благодарны, сейчас прооперируем в лучшем виде!
- А кто это?
- Знаменитый физик.
- А что он сделал?
- Изобрел Теорию Относительности.
- А что это такое?
- Ну как тебе объяснить? Вот у тебя на голове два волоса - это много или мало?
- Мало!
- А теперь представь эти два волоса у себя в супе!
- И с этой хохмочкой он едет в Одессу?
------------------------
Типа умы учёных мужей _не_ заняты ни волосами в супе, ни парадоксом Рассела.
спасает от необоснованно рискованных действий всегда. Почти всегда.
Виват науке!
Сам я стараюсь не бриться, и других на брить.
чтобы избежать парадоксов.
- Вы по ошибке вместо меня разбудили лысого".
АНАЛИЗ ПАРАДОКСА О ПОЛКОВОМ ПАРИКМАХЕРЕ.
Сразу скажу, это не тот случай, когда лингвистическая конструкция не может быть описана с помощью формальной логики. Сейчас мы построим точную модель парадокса.
Теория множеств удивительно красива, и многие её глубокие выводы можно постигнуть, не имея многочисленных специальных знаний. Я буду стараться писать для всех. Нам потребуется два базовых понятия - понятие множества и понятие отображения или функции.
Множества - они как в жизни. Это может быть множество сотрудников фирмы, множество слонов в зоопарке, множество целых чисел и т.п. Множества состоят из своих элементов, и говорят, что эти элементы принадлежат множеству. Множества включают свои подмножества, например, множество сотрудников фирмы включает своё подмножество сотрудниц-женщин.
Пусть заданы два множества X и Y. Отображением f множества X в множество Y называют правило, которое каждому элементу x в множестве X ставит в соответствие единственный элемент y в множестве Y. Если y соответствует x,
то пишут y = f(x).
Например, X - множество учеников 10Б класса, Y - множество действительных чисел, f(x) - рост ученика x.
Пусть X и Y - два множества, f - некоторое отображение множества X в Y. Образом элемента x называется элемент f(x) в множестве Y. Прообразом элемента y называется элемент x в X, для которого f(x) = y. Отметим, что прообраз для некоторых элементов может не существовать. Например, если X и Y - множества действительных чисел, f(x) = x * x, то для у = -1 прообраза не существует.
И последнее, поговорим о множестве всех подмножеств.
Пусть X - семья из двух человек a и b. Тогда множество всех подмножеств X состоит из четырех элементов: {a, b}, {a}, {b}, 0, то есть, множество всех подмножеств содержит X, одноэлементные множества {a} и {b} и еще пустое множество 0, которое, по определению, не содержит никаких элементов, но всегда включается в множество всех подмножеств.
Другой пример, Пусть X - семья из трёх человек a, b и c. Тогда множество всех подмножеств X состоит из восьми элементов: {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c} и 0, т.е. тройка, все три пары, все три одноэлементных и пустое.
Ну всё, ликбез закончен, переходим к делу.
Пусть X - произвольное множество (возможно бесконечное), Y - множество всех подмножеств X, f - произвольное отображение множества X в множество Y.
Известную ТЕОРЕМУ о мощностях можно сформулировать следующим образом:
существует элемент y в множестве Y, для которого отсутствует прообраз.
Иначе говоря, невозможно построить отображение X в множество Y такое, что f(x) исчерпывают все элементы Y.
Доказательство этого утверждения удивительно элегантно, и, как мы увидим далее, опирается на парадокс о полковом парикмахере. Изложим его, следуя известному учебнику [1], см. Глава 1, подраздел 5, страница 29, теорема 3.
Напомним, что в изучаемой конструкции, для каждого элемента x в X образ f(x) есть подмножество X и, следовательно, может содержать или не содержать x в качестве своего элемента. Пусть M - множество таких x, которые не содержатся в своих образах f(x). Ясно, что M - элемент множества Y. Докажем, что для него нет прообраза.
От противного. Пусть для элемента m множества X выполняется f(m) = M. Предположим, что m принадлежит M. Тогда элемент m содержится в своём образе, а значит, он не может принадлежать M (ведь M составлено из элементов, которые не содержатся в своих образах). Предположим, что m не принадлежит M. Тогда m не принадлежит своему образу, а значит, является элементом множества M. И в первом и во втором случае мы пришли к противоречию. Значит элемента m не существует, и у множества M нет прообраза. Теорема доказана.
Из этой теоремы следует знаменитый факт о том, что множество всех подмножеств множества X имеет мощность строго большую мощности X. Но об этом как-нибудь в другой раз.
МОДЕЛЬ ПОЛКОВОГО ПАРИКМАХЕРА.
Пусть X - множество всех людей в полку, Y - множество всех подмножеств X, f - отображение X в Y, которое имеет следующий смысл: f(x) - множество тех людей из полка, которых бреет человек x.
Некоторые бреют только себя, для них f(x) = {x} - одноэлементное множество.
Некоторые никого не бреют и сами не бреются, для них f(x) = 0 - пустое множество.
Некоторые бреют какую то кучу народу, для них f(x) содержит несколько элементов.
Если человек бреется сам, то f(x) содержит x.
Если человек не бреется сам, то f(x) не содержит x.
Рассмотрим множество M, состоящее из всех элементов x, для которых f(x) не содержит x.
Множество М - это множество всех людей в полку, которые сами не бреются.
Мы только что видели (см. доказательство теоремы о мощностях), что множество M не имеет прообраза,
то есть, элемента m, для которого f(m) = M. А значит нет парикмахера, который бреет множество M.
РЕЗЮМЕ.
Никакого парадокса нет. Противоречие в парадоксе о полковом парикмахере является доказательством отсутствия объектов с такими свойствами. Если вы скажите, что x - это целое число, которое не делится на 2, но делится на 4, и получите из этого какие-либо противоречия, то это не будет восприниматься парадоксом, поскольку каждый понимает, что такого числа x не бывает.
Ссылки:
1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.
Вы страшный человек... это я Вам как гуманитарий говорю. :)))
Вот и в Википедии пишут, что парадокс о полковом парикмахере является вариантом формулировки парадокса Рассела, преодоление которого привело к построению аксиоматической теории множеств.
А у нас здесь получилось все не так. :)
Парадокс о полковом парикмахере вовсе не противоречит "наивной" канторовской теории.
Тут такое дело, парадокс Рассела указал на изъян "наивной" теории множеств, которая допускала ситуацию, когда множество может содержать себя в качестве своего элемента. В аксиоматических системах типа Цермело-Френкеля такая ситуация стала невозможной.
А мы видим теперь, что при формализации парадокса о полковом парикмахере не возникает множеств, содержащих себя в качестве своего элемента. Поэтому этот парадокс совсем из другой оперы.
"Бертран Рассел предложил парадокс брадобрея, чтобы облечь в более наглядную форму знаменитый парадокс, обнаруженный им в теории множеств...
Что вы скажете об астрологе, составляющем гороскопы тем и только тем астрологам, которые не составляют себе гороскопов сами?...Что вы скажаете о роботе, ремонтирующем те и только те роботы, которые не ремонтируют себя сами?...
Все это -- различные варианты парадокса Рассела. В каждом случае Множество S по определению содержит те и только те объекты, которые не находятся в определенном отношении R к себе. Парадокс становится очевидным при попытке ответить на вопрос, принадлежит ли множество S самому себе."
Про парадокс Рассела в классической формулировке:
Пусть К - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению К, оно не должно быть элементом К - противоречие. Если нет - то, по определению К, оно должно быть элементом К - вновь противоречие.
я воздержусь давать комментарии.
Надо разбираться. Не даром аксиоматические теории множеств наложили запрет на множества, содержащие себя в качестве своего элемента. Возможно, что парадокс Рассела лишь внешне похож на парадокс о полковом парикмахере.
Когда Рассел популяризировал свой парадокс, люди еще не были единодушны в понимании этого.
Вот сидел, ковырялся в этих теориях и думал. Разобраться... или поужинать...?:-) Ну вроде появилось ощущение понимания. Ладно, можно и поесть.:-)
С парикмахером проще. Множество всех солдат полка отображается в разные подмножества с разными свойствами. Т.е. подмножества самобритых, небритых и парикмахеров. И тогда парикмахер самобреется не будучи парикмахером, а отображаясь в подмножество парикмахеров не принадлежит подмножеству небритых. Так что ли?
Не знаю как это состыкуется с формальной логикой и аксиоматикой теории множеств. Но с популяризацией по-моему стоит ограничиться на том, что есть. В крайнем случае добавить руководителя группы туристов, который руководит только туристами, которые не руководят походом. А то тут с Вашими:
***поиметь себя***
недолго дойти до героя-любовника который "имеет" всех кто, не "имеет" себя.:-)))
Если имеет, то он сам себя имеет, а значит иметь не должен. А если не имеет, то имеет, потому что обязан иметь всех, кто сам себя не имеет.
Поздравляю Абориг!
Вы существенно продвинули теорию Рассела! :))
"..С парикмахером проще. Множество всех солдат полка отображается в разные подмножества с разными свойствами. Т.е. подмножества самобритых, небритых и парикмахеров. И тогда парикмахер самобреется не будучи парикмахером, а отображаясь в подмножество парикмахеров не принадлежит подмножеству небритых. Так что ли?"
Каждому солдату (офицеру и т.п.) ставится в соответствие множество его клиентов, т.е. тех, кого он бреет. Такое множество может включать самого этого солдата, если он бреется сам. Никакого противоречия в этом нет.
Следующий этап рассуждения.
Все солдаты, которые сами не бреются тоже образуют множество.
Но это такое хитрое множество, которое не соответствуют никакому солдату. И это доказывается парадоксом о полковом парикмахере. Что и сделали Колмогоров и Фомин в своей книге (не произнося слова парикмахер).
Использование в доказательстве (объяснении) понятие _функции_ некорректно, т.к. в определении функции присутствует понятие множества (ну там "... из множества X в множество Y ...").
В том смысле, что если вдруг (наивное) понятие множества противоречиво, то и построенное на его основе понятие функции может оказаться противоречивым. Например с помощью него окажется возможным "решить" некорректную задачу, или какое-нибудь противоречивое свойство найдется у какой-нибудь функции
(например ставящей каждому элементу множества всех множеств, такой элемент, что...)
Про то, как нынче (т.е. на начало XXI века) выглядят основы теории множеств в популярном изложении (т.е. для неспециалистов с математическим образованием), можно прочитать в книге Дж. Кэли "Общая Топология", в Добавлении. Ниже -- ссылка на эту книгу в Сети:
http://www.huminst.ru/lib/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20%D0%94%D0%B6.%20-%20%D0%9E%D0%91%D0%A9%D0%90%D0%AF%20%D0%A2%D0%9E%D0%9F%D0%9E%D0%9B%D0%9E%D0%93%D0%98%D0%AF.pdf
Я сегодня подумал вот о чем.
Фразу "парикмахер бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет" можно моделировать двояко.
Давай заменим в ней одно слово. Получится: "парикмахер содержит тех и только тех, кто сам себя на содержит". А от этой фразы полшага до парадокса Рассела - "рассмотрим множество, которое в качестве элементов содержит все такие множества, которые сами себя не содержат в качестве своего элемента".
Первый путь - моделировать парикмахера множеством, а отношение "брить" - моделировать как "содержит".
Наверно так моделировал сам Рассел, раз он ходил и всем рассказывал байку про полкового парикмахера.
Такого типа моделирование пришлось запретить, и аксиоматическая теория множеств запретила множествам содержать себя в качестве элемента.
Второй путь - моделировать парикмахера точкой, а отношение "брить" - моделировать как отображение точки в множество. Собственно, эту модель я и предложил. Такая модель оказалась непротиворечивой. В такой модели "брить себя" - это вовсе не содержать себя в качестве своего элемента. В этой модели "брить себя" - это когда множество, которое является образом точки, содержит эту точку. В этом построении уровни иерархии не смешиваются. Оно не противоречит аксиоматической теории множеств.
"- На самом деле самого дела нет. В самой деятельности заключена самость дела - и наоборот. Наоборот получим оборот на, и таким образом перевернем образ. … - Конечно, Холмс. Передавайте уже наконец трубку".
Так как математики не смогут читать вышеизложенный пространный текст (там слишком много букв), то для ссылок я публикую удобоваримый для математиков текст. Вот такой:
С Праздником)
Ну вы, блин, сильны...)))
Внимание читателей привлеку к формулировке опроса, напоминающей сам парадокс. Например не все варианты ответа противоречат друг другу:)
Это уместно _именно_(только?) при обсуждении парадокса разбиения множеств (ну там типа на бреющихся и бреющих:)!!
По существу дела писать воздержусь. Пока.
Чем больше учишься,тем больше знаешь,
Чем больше знаешь,тем больше забываешь,
Чем больше забываешь,тем меньше знаешь,
Чем меньше знаешь,тем меньше забываешь,
А чем меньше забываешь,тем больше знаешь.
Так зачем тогда вообще учиться ? :-0.
Интересно, что в подобных условиях некоторые личности (называющие себя преподавателями), вынуждены оценивать знания других. Если он знает что сам ничего не знает, то откуда он знает чего не знаю я?!;-)
Он дописал: "И знать не хочу".
Нее,трансполяция моделирования синусоидольных колебаний головного мозга,не для технарей (:-), "я пойду хлебну кваску и скажу,согласный" (:-) .
задачка: какие из указанных лиц обиделись на мой камент? мне представляется: они - не мудрецы ;)
умные учатся на чужих, дураки на своих, а мудрые - не учатся (они ж ведь уже умные, зачем им учиться ?)
Спасибо, конечно. Что-то вдруг вспомнил стих, сочинённый мною давным-давно на уроке физики.
(Для пояснения - Сизиков Н.Ф.. это наш учитель труда в школе.)
"У нас сегодня физика.
Похож я на балду.
Зато товарищ Сизиков
Похвалит на труду"
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0 Это всё - про ряд Тейлора в "Википедии".., а вот как нам его в своё время преподали по "простенькому"
Где-бы член найти нам в пору,
Чтобы вставить в зад Тейлору..?
Оба члена хороши, -
И - Логранжа, и - Коши...
Эта функция бесконечно дифференциируема в точке x = 0, но все её производные в этой точке равны нулю. Поэтому её ряд Тейлора (Маклорена) сходится вовсе не к этой функции, а к константе ноль.
Пример бесконечно дифференциируемой, но не аналитической функции.
Группа из n (n>2) туристов-лыжников разбрелась по тундре во время тумана. Когда туман рассеялся, выяснилось, что туристы находятся в вершинах правильного n-угольника со стороной a. Обрадовавшись, туристы начали движение что бы соединиться, каждый двигался к своему правому соседу со скоростью v (т.е. вся компания двигалась по часовой стрелке). Через какое время вся группа соберется в одной точке?
t = a / W,
где отношение скорости сближения W к скорости туриста V равно
W/V = 1 - cos(2 * pi / n ).
В частности, для квадрата имеем W = V.
Для треугольника W = 3V/2.
Мне проще было через проекцию на радиус решать, хотя у Вас изящней.
Ну так что? Троечка или твёрдая пять?:-)))
L = V * t = a * V / W = a / (1 - cos(2 * pi / n )),
где t - правильно найденное мною время сближения (найденное без всякой спирали).
Про длину спирали не спрашивали.
Твёрдая пять.
:))
(Валить, так валить!):-)))
Думаете так легко у меня твёрдую пять получить?:-)))
Ниже дано другое решение через "скорость приближения к центру".
А разбираться самому... Счас, брошу точить кайло и схвачусь за учебники...:-))) А Вы здесь на что? Задачу и Вы тут можете объяснить, а вот кайло мне никто в инете не наточит!:-)))
При вращении по спирали проекция скорости на направление до центра многоугольника постоянна и равна
P = V * cos ((pi - альфа)/2) = V * sin (pi/n)/
С другой стороны, для расстояния R от угла многоугольника до его центра справедлива отношение:
a / (2R) = sin (pi/n).
Поэтому t = R/P = a / (V * 2 * sin (pi/n) * sin (pi/n)) = a / W,
где W/V = 2 * sin (pi/n) * sin (pi/n) = 1 - cos(2 * pi / n).
Получился тот же самый ответ.
ЗАДАНИЕ.
1) найти 3-х друзей, взять с собой 1 литр, секундомер и палатку.
2) поставить палатку в Медео, или где там у вас не гоняют.
3) Рядом с палаткой разметить 4 точки в углах квадрата со стороной 20 метров.
4) Пройти 20 метров, измерить время движения.
5) Поставить в центр квадрата литр.
6) Встать по углам квадрата.
7) Сойтись по спирали к бутылке, измерить время движения.
8) В случае совпадения результатов измерений с точностью до 10 % отпраздновать успешное завершение лабораторной работы.
Как вариант - повторять (выпивая центральную банку) эксперимент до тех пор, пока все не выйдет. Не факт, что положительный результат удастся зафиксировать, но пропаганда экспериментальной физики получиться знатная!
Я тут уже почти раскрутил aiv-а на спирт за оценку.:-))) А тут Вы со своими решениями.:( Атличник... Штоб те...:(
И чо теперь в центр квадрата ставить?:-)))
Кста:если у команды в палатке есть спирт, какой дурак попрётся куда-то в туман? Ещё и по спирали!:-)))
То aiv: В следующий раз Вы свой спирт Leb-у доверьте делить, чтобы не всё на горелки уходило. Или выбирайте что Вам важнее - математика или горелки, горы...:-)))
Не сопьёшься с такими студентами!:-)))
Твердые стержни соединены шарнирами. Скорость Va точки А равна 1 м/с.
Найти скорость точки B.
Изящное решение следует из одного понятия, которому в школах не обучают.
Лыжник в гору: "Шалды-балды"...)))
Известно (и это легкий результат), что при отсутствии сопротивления воздуха оптимальный (по дальности) угол бросания камня равен 45 градусам. Интуитивно ясно, что оптимальный угол при бросании камня с крыши дома должен быть меньше. Однако в такой постановке задача исключительно сложная, честное аналитическое решение без разложения в ряд Тейлора мне получить не удалось.
Зато задача решается в другой постановке, когда камень кидают на наклонной плоскости.
Итак, для Риска:
Туристы встали на перекус на склоне крутизной A градусов. Ваня оказался ниже Пети строго по линии течения воды. Под каким углом к горизонту Петя должен кинуть в Ваню куском колбасы, чтобы это можно было сделать с минимальной скоростью?
Ответ: Под углом 45 - A/2 градусов.
Попробуйте убедиться в этом. :)
P.S. При бросание в гору, угол A/2 прибавляется. Таким образом, если склон 30-градусный, то оптимальный угол относительно горизонта при бросании под горку равен 45 - 30/2 = 30 градусов, а при бросании в горку 45 + 30/2 = 60 градусов.
Брадобрей просто не входит в множество "всех, кто не бреется сам", потому что:
1. Брадобрей не бреется, а бреет, иначе всякий, кто бреется, звался бы брадобреем.
2. Брадобрей может побрить свои щёки, шею, подбородок, НО не себя,
т.к. собственное "я" для брадобрея является отвлечённым нематериальным понятием, которое побрить невозможно в принципе.
Полковому парикмахеру ПРИКАЗАНО брить тех и только тех, кто сам не бреется. Как он должен поступить с самим собой?
Парадокса здесь, действительно, нет...просто, следуя формальной логике, приказ не выполним....
Тем не менее такого рода приказы отдаются и даже как-то исполняются ("кто в армии служил, тот в цирке не смеётся")...
Так что, жизнь показывает, что "объекты с такими свойствами" всё-таки существуют ))