Трактат о распределении козырей у вистующих и о связанных с этим рисках.

1978 г. Туристы МАИ только что спустились с пика Фиккера (6725). Слева Никита Степанов, справа Никита Штван и виден нос Князя. Похоже, что у Степанова мизер.

Это продолжение. Начало трактата ЗДЕСЬ.

3. Совместное распределение козырей и второй сильной масти между вистующими.

Очень часто на руках у основного игрока, кроме козырей, имеется еще одна сильная масть. В ситуации, когда козырей у вистующих не осталось, даже маленькие карты этой масти забирают взятки. Второе назначение карт сильной масти – это вышибание крупных или длинных козырей у вистующих.

Наиболее опасной для основного игрока ситуацией является сосредоточение оставшихся козырей и оставшихся карт сильной масти у одного и того же вистующего.

Как и прежде, пусть X – число козырей у вистующего A. Случайной величиной Y обозначим число карт второй сильной масти у того же вистующего A. Будем изучать совместное распределение пары случайных величин (X,Y).

4. Случай, когда у основного игрока 5 козырей и 5 карт второй сильной масти.

В этом случае (3-X) – число козырей у второго вистующего, (3-Y) – число карт второй сильной масти у второго вистующего. Совместное распределение пары (X,Y) задается формулой:

P{X=k, Y=m} = C(3,k)*C(3,m)*C(14, 10-k-m) / C(20,10).......................................(4)

Расчет вероятностей по этой формуле представлен в следующей таблице:



Само распределение P{X=k, Y=m} расписано в серых полях таблицы. В нижней (голубой) строке представлены суммы вероятностей по столбцам. Это, так называемое, маргинальное распределение случайной величины Y. То, что оно совпадает с распределением из таблицы 1, свидетельствует в пользу того, что вычислительных ошибок у нас нет.

5. Десять, девять или восемь?

Предположим, что у основного игрока козырные туз, король и три мелких козыря. И во второй сильной масти у него туз, король и три малки. Первый ход его. Какую игру заказывать?

В следующей таблице в серых клетках прописано количество взяток у основного игрока для каждого значения X и Y.



Посчитаем математическое ожидание выигрыша основного игрока, если он закажет десятерную игру. На десятерной не вистуют, её проверяют.

M(W) = -150 * 14/1292 – 75 * 468/1292 + 75 * 810/1292 = -150 * 14 / 1292 + 75 * 342 / 1292 = 18,2 вистов.

Оценим математическое ожидание выигрыша основного игрока, если он закажет девятерную игру. Рассмотрим самый наихудший для основного игрока вариант, когда вистующие играют идеально: вистуют тогда и только тогда, когда они имеют висты.

M(W) = (- 60 – 4*8) * 14/1292 + (60-8) * 468/1292 + 60 * 810/1292 = 55,5 вистов.

Наконец, оценим математическое ожидание выигрыша, если основной игрок закажет восьмерную игру. Будем считать, что вистующие играют идеально.

M(W) = (45 -12) * 14/1292 + (45-6) * 468/1292 + 45 * 810/1292 = 42,7 вистов.

Эти расчеты подтверждают вполне очевидный для опытного игрока вывод. При раскладе “туз, король и три малки в двух мастях” закладываться надо только на одну третью даму. Рисковать и играть десятерную целесообразно только в том случае, если вы перебиваете, тем самым, девятерную игру у противника.


Под стеною ПФП.

6. Случай, когда у основного игрока 4 козыря и 4 карты второй сильной масти.

В этом случае (4-X) – число козырей у второго вистующего, (4-Y) – число карт второй сильной масти у второго вистующего.

Совместное распределение пары (X,Y) задается формулой:

P{X=k, Y=m} = C(4,k)*C(4,m)*C(12, 10-k-m) / C(20,10).........................................(5)

Расчет вероятностей по этой формуле представлен в следующей таблице:



Само распределение P{X=k, Y=m} записано в серых полях таблицы. В нижней (голубой) строке проставлены суммы вероятностей по столбцам. Они совпадают с данными из таблицы 3, что свидетельствует в пользу того, что вычислительных ошибок у нас нет.



В таблице 9 самые страшные расклады отмечены оранжевым цветом. Вероятность их 886 / 8398 – это чуть больше 10 %.

7. Случай, когда у основного игрока 5 козырей и 4 карты второй сильной масти.

В этом случае (3-X) – число козырей у второго вистующего, (4-Y) – число карт второй сильной масти у второго вистующего. Совместное распределение пары (X,Y) задается формулой:

P{X=k, Y=m} = C(3,k)*C(4,m)*C(13, 10-k-m) / C(20,10)...............................................(6)

Расчет вероятностей по этой формуле представлен в следующей таблице:



На этом я заканчиваю трактат, который был написан после похода в мае 2017 г. в поезде "Адлер-Москва".

Надеюсь, что этот материал будет полезен не только любителям преферанса и математики, но и профессиональным преподавателям, как основа для студенческих курсовых по курсу ТВ и МС.

Начало трактата.

Благодарю Никиту Степанова за классные фотки!